贝塞尔曲线

本笔记图片来自知乎，详细的学习可以参考这篇知乎，这里只写简单的定义。

构造曲线/曲面的方式

方式	说明	例子
插值	连接若干离散点	拉格朗日插值曲线、埃尔米特插值曲线
拟合	贴近给定的型值点	最小二乘拟合曲线
逼近	逼近折线轮廓，折线轮廓构成的多边形称为“控制多边形”	贝塞尔曲线、B样条曲线、NURBS

贝塞尔曲线定义

通过n+1个顶点，定义次贝塞尔曲线（Bézier curve）。

多项式参数方程：

其中

1. 可以理解成从起点（）到终点（）的“进度”
2. 为点的位置矢量

3. 伯恩基坦（Bernstein）函数：
   

   其中 是组合数（即 选 ）。

低次贝塞尔曲线

一次贝塞尔曲线

时，一次贝塞尔曲线是一个直线段。

二次贝塞尔曲线

时，

三次贝塞尔曲线

时，

贝塞尔曲线的递推生成算法

de Casteljau 算法：

• 是贝塞尔曲线的控制点
• 是贝塞尔曲线在参数 处的坐标值 。

贝塞尔曲线的性质

1. 端点性质：
   1. 端点插值性：曲线经过第一个控制点（起点，t=0）和最后一个控制点（终点，t=1）。
   2. 端点切向性：曲线在起点和终点，分别与控制多边形的第一边和最后一边相切
2. 对称性：控制点顺序反转，曲线形状不变（方向相反）。
3. 几何不变性与多值性：形状不依赖坐标系，仅由控制多边形的顶点决定；同一曲线可有不同参数表示。
4. 全局性控制：动一点，整曲线变。（缺点：不能局部修改。）
5. 凸包性：曲线必在控制点凸包内。