最小生成树

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复健中

最小生成树是基本的图论算法。

P3366 【模板】最小生成树

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 ，表示该图共有 个结点和 条无向边。

接下来 行每行包含三个整数 ，表示有一条长度为 的无向边连接结点 。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

输入输出样例 #1

输入 #1

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4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出 #1

1
7

说明/提示

数据规模：

对于 的数据，，。

对于 的数据，，。

对于 的数据，，。

对于 的数据：，，，。

样例解释：

所以最小生成树的总边权为 。

Prime 算法

核心在于，将已遍历的点连接的边拉近优先队列，然后取下一边再拉一个点进来。时间复杂度 (应该是)

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import heapq
from collections import deque
n, m = map(int, input().split())
arr = [deque() for _ in range(n+1)]  # 每个点的边权和下一点.其实可以不用deque
queue = []

for i in range(m):
    u, v, w = map(int, input().split())
    arr[u].append((w, v)) # 1到n
    arr[v].append((w, u))

last = n-1
u=1
vis = [False]*(n+1)
vis[1]=True

ans=0
for p in arr[u]:
    heapq.heappush(queue,p)
while queue:
    while vis[u] and queue:
        w,u=heapq.heappop(queue)
    if vis[u]:
        break
    ans+=w
    vis[u]=True
    last-=1
    if not last:
        break
    while arr[u]:
        w,v=arr[u].pop()
        if not vis[v]:
            heapq.heappush(queue,(w,v))
    
if not last:
    print(ans)
else:
    print('orz')

Kruskal 算法

核心在于把所有边带着两个端点放进优先队列，每次取一条全局最短边，连接两个点所在的树。时间复杂度 

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import heapq
n, m = map(int, input().split())
arr = []
last = n-1
for i in range(m):
    u, v, w = map(int, input().split())
    arr.append((w, u, v))


class Dsu:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.parent = [i for i in range(0, n+1)]
        self.size = [1]*(n+1)

    def find(self, a):
        if a != self.parent[a]:
            self.parent[a] = self.find(self.parent[a])
        return self.parent[a]

    def union(self, a, b):
        pa = self.find(a)
        pb = self.find(b)
        if pa == pb:
            return
        if self.size[a] < self.size[b]:
            a, b = b, a
        self.parent[pb] = pa
        self.size[pa] += self.size[pb]

dsu = Dsu(n)
heapq.heapify(arr)
ans = 0

while arr:
    w, u, v = heapq.heappop(arr)
    if dsu.find(u) == dsu.find(v):
        continue
    ans += w
    dsu.union(u,v)
    last-=1
    if last==0:
        break
if not last:
    print('orz')
else:
    print(ans)